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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Do 13.05.2010 | | Autor: | Maggons |
| Aufgabe | 1) Gegeben ist die Menge
D = {x [mm] \in \IR^{2}: x_{1} \in [/mm] [-1,1], [mm] x_{2} \in [|x_{1}|,1]}
[/mm]
Skizzieren Sie die Menge D und bestimmen Sie das Integral
[mm] \integral_{D}^{ }{2*x_{1}^{2}*x_{2} dx}
[/mm]
2) D = {x [mm] \in \IR^{2}: |x_{1}^{2}| [/mm] + [mm] |x_{2}^{2}| \le [/mm] 1 }
a) Skizzieren Sie die Menge D
b) Zeigen Sie, dass D ein Normalbereich ist |
Hallo allesamt
zu 1)
Hier liegt ein Dreieck vor, welches zwischen (-1,1), (0,0) und (1,1) aufgespannt wird.
Hab mich nun aber beim Integrieren gefragt, ob man gezwungenermaßen 2 Doppelintegrale aufstellen muss.
Ich habe einmal |X| als Grenze genommen und als Ergebnis 0 erhalten.
Da mir das relativ unwahrscheinlich vorkam, hab ich das Integral aufgesplittet und mit
[mm] \integral_{-1}^{0}{\integral_{-x}^{1}{f(x) dx_{2}} dx_{1}} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{-1}{\integral_{x}^{1}{f(x) dx_{2}} dx_{1}} [/mm] = 4/15
berechnet.
Was ist nun korrekt?
Rechenfehler schließe ich einfach mal aus, weil ich beides auch mit meinem Rechner nachgerechnet habe.
Meine Frage ist nun, ob man das ganze immer so machen muss .... ?
Bei Beträgen an den Integrationsgrnzen bekommt man ja "auf jeden Fall" das korrekte Ergebnis, falls man es aufteilt.
Geht es aber auch ohne .... ?
zu 2)
Ich möchte behaupten, dass es sich bei der Skizze um eine Raute handelt, die zwischen (-1,0), (0,1),(1,0),(0,-1) aufgespannt wird.
Kann man ja "durch Einsetzen erahnen".
Beim Darstellen habe ich hier leider Probleme. Durch "stupides Einsetzen" kann man auf die Randpunkte kommen, aber im Endeffekt brauche ich ja die 4 Gleichungen:
-1+x
-1-x
1+x
1-x
Nur leider habe ich bisher nicht wirklich die Ungleichung zu meinem gewünschten Ziel umschreiben können.
Wahrscheinlich läuft es ja auf eine Fallunterscheidung mit 4 Fällen (2 Möglichkeiten pro Koordinate) hinaus.
Um zu beweisen, dass es sich um einen Normalbereich handelt, kann ich leider nur eine gesplittete Form wählen:
D = {x [mm] \in \IR^{2}: x_{1} \in [/mm] [-1,0], [mm] x_{2} \in [/mm] [-1-x,1-x]
[mm] \cap [/mm] x [mm] \in \IR^{2}: x_{1} \in [/mm] [0,1], [mm] x_{2} \in [/mm] [-1+x,1+x}
würde m.E. zum gleichen Ergebnis führen; ich weiß aber a) nicht, ob ich das wirklich so machen darf, so dass hierdurch auch wirklich das Existieren des Normalenbereichs geht und b), ob das so wirklich "optimal gelöst ist".
Wäre sehr dankbar, falls mir jemand nen paar gute Ratschläge und Tipps bzgl. der Aufgaben geben könnte
Mit freundlichen Grüßen
Maggons
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum o.Ä. gestellt.
Edit: wäre auch schon super, wenn mir jemand ein Feedback geben könnte wieso keiner antwortet ... ? :/
Ist die Frage zu allgemein gestellt?
Kann auch gerne noch mehr drumherum posten, dachte aber, dass die allgemeine Fragenstellung OK wäre, weil es hier ja eher um ein Grundlagenproblem, quasi das Integrieren mit einem Betrag als Grenze, geht. Dazu kommt noch die Frage, ob man die Darstellung eines Normalbereiches "zerlegen" darf und damit trotzdem noch die Existenz des Normalbereiches bewiesen wird (die Intervalle grenzen aneinander).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 So 16.05.2010 | | Autor: | Maggons |
Ich habe die Frage oben ergänzt, bin mir aber gerade der Tatsache bewusst geworden, dass sie dann nicht nochmal "unter die latest Topics" geholt wird, weshalb ich auf diesem Wege nochmal auf obige Bemerkungen/ Fragen am Ende verweise.
Würde mich halt gern heute nochmal damit auseinandersezten, damit ich es morgen in der Vorlesung bereits sauber anwenden kann und verstanden hab.
Mit freundlichen Grüßen
Maggons
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Maggons,
> 1) Gegeben ist die Menge
>
> D = {x [mm]\in \IR^{2}: x_{1} \in[/mm] [-1,1], [mm]x_{2} \in [|x_{1}|,1]}[/mm]
>
> Skizzieren Sie die Menge D und bestimmen Sie das Integral
>
> [mm]\integral_{D}^{ }{2*x_{1}^{2}*x_{2} dx}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> 2) D = {x [mm]\in \IR^{2}: |x_{1}^{2}|[/mm] + [mm]|x_{2}^{2}| \le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1 }
>
> a) Skizzieren Sie die Menge D
> b) Zeigen Sie, dass D ein Normalbereich ist
> Hallo allesamt
>
> zu 1)
>
> Hier liegt ein Dreieck vor, welches zwischen (-1,1), (0,0)
> und (1,1) aufgespannt wird.
>
> Hab mich nun aber beim Integrieren gefragt, ob man
> gezwungenermaßen 2 Doppelintegrale aufstellen muss.
>
> Ich habe einmal |X| als Grenze genommen und als Ergebnis 0
> erhalten.
>
> Da mir das relativ unwahrscheinlich vorkam, hab ich das
> Integral aufgesplittet und mit
>
> [mm]\integral_{-1}^{0}{\integral_{-x}^{1}{f(x) dx_{2}} dx_{1}}[/mm]
> + [mm]\integral_{0}^{-1}{\integral_{x}^{1}{f(x) dx_{2}} dx_{1}}[/mm]
> = 4/15
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> berechnet.
>
> Was ist nun korrekt?
> Rechenfehler schließe ich einfach mal aus, weil ich
> beides auch mit meinem Rechner nachgerechnet habe.
>
>
> Meine Frage ist nun, ob man das ganze immer so machen muss
> .... ?
Nein.
> Bei Beträgen an den Integrationsgrnzen bekommt man ja
> "auf jeden Fall" das korrekte Ergebnis, falls man es
> aufteilt.
> Geht es aber auch ohne .... ?
Sicher, geht auch ohne Aufteilung in 2 Doppelintegrale.
Mit Hilfe einer Skizze erkennst Du, daß
y von 0 bis 1 läuft,
x von -y bis +y.
Damit ergibt sich:
[mm]\integral_{0}^{1}{{\integral_{-y}^{+y}{f(x,y) \ dx} \ dy}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> zu 2)
>
> Ich möchte behaupten, dass es sich bei der Skizze um eine
> Raute handelt, die zwischen (-1,0), (0,1),(1,0),(0,-1)
> aufgespannt wird.
So wie der Bereich in der Aufgabe steht, ist es keine Raute.
> Kann man ja "durch Einsetzen erahnen".
>
> Beim Darstellen habe ich hier leider Probleme. Durch
> "stupides Einsetzen" kann man auf die Randpunkte kommen,
> aber im Endeffekt brauche ich ja die 4 Gleichungen:
>
> -1+x
> -1-x
> 1+x
> 1-x
>
> Nur leider habe ich bisher nicht wirklich die Ungleichung
> zu meinem gewünschten Ziel umschreiben können.
> Wahrscheinlich läuft es ja auf eine Fallunterscheidung
> mit 4 Fällen (2 Möglichkeiten pro Koordinate) hinaus.
>
>
> Um zu beweisen, dass es sich um einen Normalbereich
> handelt, kann ich leider nur eine gesplittete Form
> wählen:
>
>
> D = {x [mm]\in \IR^{2}: x_{1} \in[/mm] [-1,0], [mm]x_{2} \in[/mm] [-1-x,1-x]
> [mm]\cap[/mm] x [mm]\in \IR^{2}: x_{1} \in[/mm] [0,1], [mm]x_{2} \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[-1+x,1+x}
>
> würde m.E. zum gleichen Ergebnis führen; ich weiß aber
> a) nicht, ob ich das wirklich so machen darf, so dass
> hierdurch auch wirklich das Existieren des Normalenbereichs
> geht und b), ob das so wirklich "optimal gelöst ist".
>
>
> Wäre sehr dankbar, falls mir jemand nen paar gute
> Ratschläge und Tipps bzgl. der Aufgaben geben könnte
>
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> Maggons
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum o.Ä.
> gestellt.
>
>
> Edit: wäre auch schon super, wenn mir jemand ein Feedback
> geben könnte wieso keiner antwortet ... ? :/
>
> Ist die Frage zu allgemein gestellt?
> Kann auch gerne noch mehr drumherum posten, dachte aber,
> dass die allgemeine Fragenstellung OK wäre, weil es hier
> ja eher um ein Grundlagenproblem, quasi das Integrieren mit
> einem Betrag als Grenze, geht. Dazu kommt noch die Frage,
> ob man die Darstellung eines Normalbereiches "zerlegen"
> darf und damit trotzdem noch die Existenz des
> Normalbereiches bewiesen wird (die Intervalle grenzen
> aneinander).
Gruss
MathePower
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